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2021年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊 期中測試卷（四）


一、單項(xiàng)選擇題。(每小題1分，共10分)

1．拋物線y＝2（x﹣3）2+4頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）
A. （3，4）
B. （﹣3，4）
C. （3，﹣4）
D. （2，4）

2．如圖，在⊙O中，∠BOC＝80°，則∠A等于（）
 
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°

3．某校九年級學(xué)生畢業(yè)時，每個同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了2070張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為（）
A.
B. x（x+1）＝2070
C. 2x（x+1）＝2070
D. x（x﹣1）＝2070

4．根據(jù)下列表格對應(yīng)值：

x

3

4

5

y＝ax2+bx+c

0.5

﹣0.5

﹣1
判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是（）
A. x＜3
B. 3＜x＜4
C. x＞5
D. 4＜x＜5

5．如圖是拋物線y?＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，3），與x軸的一個交點(diǎn)B（4，0），直線y?＝mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實(shí)數(shù)根；
④拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)是（﹣1，0）；
⑤當(dāng)1＜x＜4時，有y?＜y?，
其中正確的是（）
 
A. ①②③
B. ①③④
C. ②④⑤
D. ①③⑤

6．農(nóng)夫?qū)⑻O果樹種在正方形的果園內(nèi)。為了保護(hù)蘋果樹不怕風(fēng)吹，他在蘋果樹的周圍種針葉樹。在下圖里，你可以看到農(nóng)夫所種植蘋果樹的列數(shù)（n）和蘋果樹數(shù)量及針葉樹數(shù)量的規(guī)律：當(dāng)n為某一個數(shù)值時，蘋果樹數(shù)量會等于針葉樹數(shù)量，則n為（） 
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16

7．二次函數(shù)y＝kx2﹣6x+3的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）
A. k＜3
B. k＜3且k≠0
C. k≤3
D. k≤3且k≠0

8．如圖，把△ABC繞著點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A B′C′，點(diǎn)C恰好在B′C′上，旋轉(zhuǎn)角為α，則∠C′的度數(shù)（用含α的式子表示）。（）
 
A. 90°﹣    
B. 90°+ 
C. 91°﹣    
D. 45°

9.如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，PO與AB相交于點(diǎn)C，PA＝6，∠APB＝60°，則OC的長為（）
 
A. 2     
B. 3    
C.     
D. 5

10．如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AEFG的位置，則圖中陰影部分的面積為（）
 
A.
B.
C.
D.

*以下為主觀題，系統(tǒng)不自動評分，請答題后自行估分。若沒有估分，系統(tǒng)按滿分計(jì)算。

二、填空題。(每小題5分，共40分)—— 請?jiān)跈M線上直接作答

1．一元二次方程2x2﹣2＝0的解是。

估分為分
參考答案
參考答案：x=1或x=-1

2．二次函數(shù)y＝x2－2 x＋6的最小值是。

估分為分
參考答案
參考答案：5

3．已知α、β是方程x2﹣3x﹣4=0的兩個實(shí)數(shù)根，則α2+αβ﹣3α的值為。

估分為分
參考答案
參考答案：0

4．如圖，AB是⊙O的弦，AB=5，點(diǎn)C是⊙O上的一個動點(diǎn)，且∠ACB=45°，若點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，則MN長的最大值是。

估分為分
參考答案
參考答案：


5．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的公共點(diǎn)是（﹣4，0），（2，0），則這條拋物線的對稱軸是直線。

估分為分
參考答案
參考答案：x=-1

6. 如圖：AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C。若AB＝ ，OC＝1，則半徑OB的長為。

估分為分
參考答案
參考答案：2

7．在平面直角坐標(biāo)系中，M（6，8），P是以M為圓心，2為半徑的⊙M上一動點(diǎn)，A（－2，0），B（2，0），連接PA、PB，則當(dāng)PA2＋PB2取得最大值時，PO＝。

估分為分
參考答案
參考答案：12

8．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)（﹣1，0），對稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若點(diǎn)A（﹣2，y?），點(diǎn)B（，y?），點(diǎn)C（，y?）在該函數(shù)圖象上，則y?＜y?＜y?；（5）若m≠2，則m（am+b）＜2（2a+b），其中正確的結(jié)論的序號是。

估分為分
參考答案
參考答案：（1）（3）（5）

三、按要求做題。(每小題10分，共70分)

1．已知a是方程x2－2011x＋1＝0的一個根，求a2－2010a＋的值。

估分為分
參考答案
參考答案：解：a是方程x2－2011x＋1＝0的一個根，
則a2－2011a＋1＝0，
所以a2＋1＝2011a，a2＝2011a－1。
a2－2010a＋＝2011a－1－2010a＋
＝a－1＋ =2010。
0

2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E。
（1）求證：E是AC中點(diǎn)；
（2）若AB＝10，BC＝6，連接CD，OE，交點(diǎn)為F，求OF的長。

估分為分
參考答案
參考答案：（1）證明：連接CD，
 
∵∠ACB＝90°，BC為⊙O直徑，
∴EC為⊙O切線，且∠ADC＝90°；
∵ED切⊙O于點(diǎn)D，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC；
∵∠A+∠ECD＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝ED，
∴AE＝CE，
即E為AC的中點(diǎn)；
∴BE＝CE；
（2）解：連接OD，
 
∵∠ACB＝90°，
∴AC為⊙O的切線，
∵DE是⊙O的切線，
∴EO平分∠CED，
∴OE⊥CD，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)E、O分別為AC、BC的中點(diǎn)，
∴OE＝AB＝＝5，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8，
∵在Rt△ADC中，E為AC的中點(diǎn)，
∴DE＝AC＝＝4，
在Rt△EDO中，OD＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5，
由三角形的面積公式得：S△EDO＝，
即4×3＝5×DF，
解得：DF＝2.4，
在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝1.8。
0

3．國家發(fā)改委公布的《商品房銷售明碼標(biāo)價規(guī)定》，從2011年5月1日起商品房銷售實(shí)行一套一標(biāo)價。商品房銷售價格明碼標(biāo)價后，可以自行降價、打折銷售，但漲價必須重新申報(bào)。某市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米5000元的均價對外銷售，由于新政策的出臺，購房者持幣觀望。為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對價格兩次下調(diào)后，決定以每平方米4050元的均價開盤銷售。
(1)求平均每次下調(diào)的百分率；
(2)某人準(zhǔn)備以開盤均價購買一套100平方米的房子，開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：
①打9.8折銷售；②不打折，送兩年物業(yè)管理費(fèi)，物業(yè)管理費(fèi)是每平方米每月1.5元。
請問哪種方案更優(yōu)惠？

估分為分
參考答案
參考答案：解：(1)設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x。
5000×(1－x)2＝4050。
(1－x)2＝0.81，
解得1－x＝0.9或1－x＝－0.9(不合題意，舍去)。
∵1－x＝0.9，
∴x＝0.1＝10%。
答：平均每次下調(diào)的百分率為10%。
(2)方案一的總費(fèi)用為：100×4050×＝396 900(元)；
方案二的總費(fèi)用為：100×4050－2×12×1.5×100＝401 400(元)。
∴方案一優(yōu)惠。
0

4．已知：?ABCD的兩邊AB，AD的長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的兩個實(shí)數(shù)根。
（1）當(dāng)m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；
（2）若AB的長為2，那么?ABCD的周長是多少？

估分為分
參考答案
參考答案：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴△＝0，即m2﹣4（﹣）＝0，
整理得：（m﹣1）2＝0，
解得m＝1，
當(dāng)m＝1時，原方程為x2﹣x+＝0，
解得：x?＝x?＝0.5，
故當(dāng)m＝1時，四邊形ABCD是菱形，菱形的邊長是0.5。
（2）把AB＝2代入原方程得，m＝2.5，
把m＝2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1＝0，解得x?＝2，x?＝0.5，
∴C ?ABCD＝2×（2+0.5）＝5。
0

5．進(jìn)入冬季，我市空氣質(zhì)量下降，多次出現(xiàn)霧霾天氣。商場根據(jù)市民健康需要，代理銷售一種防塵口罩，進(jìn)貨價為20元/包，經(jīng)市場銷售發(fā)現(xiàn)：銷售單價為30元/包時，每周可售出200包，每漲價1元，就少售出5包。若供貨廠家規(guī)定市場價不得低于30元/包，且商場每周完成不少于150包的銷售任務(wù)。
（1）試確定周銷售量y（包）與售價x（元/包）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試確定商場每周銷售這種防塵口罩所獲得的利潤w（元）與售價x（元/包）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出售價x的范圍；
（3）當(dāng)售價x（元/包）定為多少元時，商場每周銷售這種防塵口罩所獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？

估分為分
參考答案
參考答案：解：（1）由題意可得，
y＝200﹣（x﹣30）×5＝﹣5x+350
即周銷售量y（包）與售價x（元/包）之間的函數(shù)關(guān)系式是：y＝﹣5x+350；
（2）由題意可得，
w＝（x﹣20）×（﹣5x+350）＝﹣5x2+450x﹣7000（30≤x≤40），
即商場每周銷售這種防塵口罩所獲得的利潤w（元）與售價x（元/包）之間的函數(shù)關(guān)系式是：w＝﹣5x2+450x﹣7000（30≤x≤40）；
（3）∵w＝﹣5x2+450x﹣7000的二次項(xiàng)系數(shù)﹣5＜0，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：x＝﹣＝45，30≤x≤40
∴當(dāng)x＜45時，w隨x的增大而增大，
∴x＝40時，w取得最大值，w＝﹣5×402+450×40﹣7000＝3000，
即當(dāng)售價x（元/包）定為40元時，商場每周銷售這種防塵口罩所獲得的利潤w（元）最大，最大利潤是3000元。
0

6．閱讀資料：我們把頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角，如圖1中∠ABC所示。同學(xué)們研究發(fā)現(xiàn)：P為圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)弦AC經(jīng)過圓心O時，且AB切⊙O于點(diǎn)A，此時弦切角∠CAB=∠P（圖2）。
證明：∵AB切⊙O于點(diǎn)A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直徑，∴∠P=90°，∴∠CAB=∠P
問題拓展：若AC不經(jīng)過圓心O（如圖3），該結(jié)論：弦切角∠CAB=∠P還成立嗎？請說明理由。
知識運(yùn)用：如圖4，AD是△ABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB、AC分別相交于E、F。求證：EF//BC。

估分為分
參考答案
參考答案：解：問題拓展：∠CAB=∠P成立。理由如下：
作直徑AD，連接CD，如圖3，則∠D=∠P，
∵AD為直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵AB切⊙O于點(diǎn)A，
∴AD⊥AB，
∴∠CAB+∠CAD=90°，
∴∠CAB=∠P；
知識運(yùn)用：如圖4，連接DF，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∵經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，
∴∠CDF=∠CAD，
∴∠BAD=∠CDF，
∵∠BAD=∠DFE，
∴∠CDF=∠DFE，
∴EF//BC。
0

7．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）。
 
（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線BD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；
（3）在拋物線上是否存在異于B、D的點(diǎn)Q，使△BDQ中BD邊上的高為2？若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在請說明理由。

估分為分
參考答案
參考答案：解：
（1）∵拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+4，
∵點(diǎn)B（3，0）在該拋物線的圖象上，
∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，
∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，
∵點(diǎn)D在y軸上，令x=0可得y=3，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴可設(shè)直線BD解析式為y=kx+3，
把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，
∴直線BD解析式為y=﹣x+3；
（2）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m（m＞0），則P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，
∴當(dāng)m=時，PM有最大值；
（3）如圖，過Q作QG//y軸交BD于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)E，作QH⊥BD于H，
  
設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），則G（x，﹣x+3），
∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO=45°，
∴∠HGQ=∠BGE=45°，
當(dāng)△BDQ中BD邊上的高為2時，即QH=HG=2，
∴QG=×2=4，
∴|﹣x2+3x|=4，
當(dāng)﹣x2+3x=4時，△=9﹣16＜0，方程無實(shí)數(shù)根，
當(dāng)﹣x2+3x=﹣4時，解得x=﹣1或x=4，
∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（﹣1，0）或（4，﹣5）。
0

考試倒計(jì)時

90分鐘

試卷導(dǎo)航

1. 單項(xiàng)選擇題。(每小題1分，共10分)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2. 填空題。(每小題5分，共40分)

1 2 3 4 5 6 7 8

3. 按要求做題。(每小題10分，共70分)

1 2 3 4 5 6 7

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