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課程內容

《二次式定理》
回顧：
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a+b）³=（a+b）（a+b）（a+b）
        =（a+b）（a+b）（a+b）
        =a³+a²b+aba+ab²+ba²+bab+b²a+b³
        =a³+3a²b+3ab²+b³
（a+b）⁴=?             （a+b）¹⁰⁰=?
嘗試二項式定理的發(fā)現：
觀察下面兩個公式，從右邊的項數，每項的次數、系數進行研究，你會發(fā)現什么規(guī)律？
（a+b）²=a²+2ab+b²=C⁰₂a²+C¹₂ab+C²₂b²
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³=C⁰₃a³+C¹₃ab+C²₃ab²+C³₃b³
項數比左邊次數多1；每項次數均為左邊指數，a，b指數降b升到 系數：
C⁰₂，C¹₂，C²₂，C⁰₃，C¹₃，C²₃，C³₃
猜想：（a+b）⁴=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）展開后，會是什么樣的呢？你能從項數，次數、系數這幾個方面談一談嗎？
①展開式中，每一項是怎樣得到的？
②既然這樣，每一項的次數都應為幾次？（4次）展開后具有哪些形式的項呢？（a⁴，a³b，a²b²，a²b²，ab²，b⁴）
③每一項在展開式中出現多少次，也就是展開式中各項系數為什么？
探索：（a+b）⁴=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）在上面4個括號中：
每個都不取b，有C⁰₄種取法，a⁴的系數C⁰₄
恰有1個取b，有C¹₄種取法，a³b的系數C¹₄
恰有2個取b，有C²₄種取法，a⁴b²的系數C²₄
恰有3個取b，有C³₄種取法，ab³的系數C³₄
4個取b，有C⁴₄種取法，b⁴的系數C⁴₄
因此：（a+b）⁴=C⁰₄a⁴+C¹₄a³b+C²₄a²b₂+C³₄ab³+C⁴₄+b⁴
特點：項數比次數多1；每項次數為左邊指數4，a降b升；系數為：C⁰₄，C¹₄， C²₄，C²₄，C⁴₄
按上述規(guī)律，我們能將（a+b）ⁿ展開嗎？
（一）二項式定理
（a+b）ⁿ
=C⁰_na²+C¹_na^n-1b+C²_nn^n-2b²+…+C^r_na^n-rb^r+Cⁿ_nbⁿ
左邊多項式叫做（a+b）ⁿ的二項展開式；
C⁰_n，C¹_n，C²_n，…Cⁿ_n叫二項式系數；
C^r_na^n-rb^r叫做二項展開式的通項，
注意：
1、弄清結構定理自我特征：項數：n+1
                        次數：n，a降b升,和為n
                        系數：C^r_n
2、二項式系數的系數不同
   二項系數的組合數，而項的系數是該項數字因數。
3、①通項公式可用求展開式中任意一項，求時必需明確r=？，一般地，比所說的第幾項少1
②通項是針對（a+b）n的標準形式而言，而（b+a）n，（a-b）n的通項則分別為：T_r+1=C^r_nb^n-ra^r；T_r+1=C^r_na^n-r（-b）^r
4、在定理中，令a=1，b=x,則
（1+x）n=C⁰_n+C¹_nx+C²_nx²+…+C^r_nx^r+Cⁿ_nxⁿ