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《圓的切線性質(zhì)與判定定理》
我們知道，直線與圓有相交、相切和相離三種位置關(guān)系，這是從直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)刻畫(huà)的，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，稱(chēng)直線與圓相交；直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，稱(chēng)直線與圓相切；直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，稱(chēng)直線與圓相離。
本節(jié)專(zhuān)門(mén)討論直線與圓相切的情形。我們先看當(dāng)直線與圓相切時(shí)有什么性質(zhì)。
如圖2-11，直線L是圓O的切線，A為切點(diǎn)的觀察、測(cè)量圖形可發(fā)現(xiàn)L⊥OA，那么L與半徑OA是否一定垂直呢？
假設(shè)L與OA不垂直，那么過(guò)點(diǎn)O可作OM⊥L，垂足為M，根據(jù)“垂線段最短”性質(zhì)，可得OA﹥OM，這就是說(shuō)圓心到直線L的距離小于圓的半徑，于是L就應(yīng)該與圓O相交，這與L是圓O的切線相矛盾，因此，L與OA一定垂直。
切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。
因?yàn)榻?jīng)過(guò)一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂直，所以經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線一定過(guò)切點(diǎn)；反之，過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線一定經(jīng)過(guò)圓心，由此得到：
推理1 經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。
推理2 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。
下面通過(guò)考察性質(zhì)定理的逆命題來(lái)得到判定定理。
如圖2-11，點(diǎn)A是圓O與直線L的公共點(diǎn)且L⊥OA，在直線L上任取異于點(diǎn)A的點(diǎn)，都有OB﹥OA，這是因?yàn)椤鱋BA是直角三角形，而OB是RT△OBA的斜邊，因此，點(diǎn)B在圓外，由點(diǎn)B的任意性，知圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此L的切線，由此可得
切線的判定定理 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓切線。
例1 如圖2-12，AB是圓O的直徑，圓過(guò)BC中點(diǎn)D，DE⊥AC。求證：DE是圓O的切線。
證明 連接OD。因?yàn)锽D=CD，OA=OB，所以O(shè)D是△ABC的中位線，則OD∥AC，又因?yàn)椤螪EC=90°，
所以∠ODE=90°，又因?yàn)镈在圓周上，所以DE是圓O的切線。
例2 如圖2-13，AB為圓O的直徑，C為圓O上的一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直垂足為D。求證：AC平分∠DAB。
證明 連結(jié)OC，因?yàn)镃D是圓的切線，所以O(shè)C⊥CD。
又因?yàn)锳D⊥CD，所以O(shè)C∥AD，由此得∠ACO=∠CAD。
因?yàn)镺C=OA，所以∠CAO=∠ACO。
則∠CAD=∠CAO，故AC平分∠DAB。
思考 圓的切線性質(zhì)定理用它的兩個(gè)推論，涉及一條直線的三條性質(zhì)；（1）經(jīng)過(guò)圓心；（2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；（3）垂直于切線，你能把圓的切線性質(zhì)及它的兩個(gè)推論概括在同一個(gè)定理中嗎？