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課程內容

《函數概念復習》

知識回顧
1.函數的基本概念
（1）函數定義
設集合A是一個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中任意一個數x，在集合B中都的唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f:A àB為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x）,x∈A。
（2）函數的定義域、值域
在函數V=f（x）,x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合｛f（x）∣x∈A｝叫做函數的值域，顯然，值域是集合B的子集。
（3）函數的三要素：定義域、值域和對應法則。
（4）相等函數：如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩個函數相等的依據。
2.函數的表示法
表示函數的常用方法：解析法、圖象法和列表法。
3.映射的概念
設A，B是兩個非空的集合，如果按照某一個確定的對應關系f，使對于集合A有任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，則稱對應f：AàB是集合A到集合B的一個映射。
4.由映射的定義可以看出，映射是函數概念的推廣，函數是一種特殊的映射，要注意構成函數的兩個集合A，B必須是非空數集。
二、函數的性質
1.函數的單調性與最值
（1）單調性：對于定義域內某一個區(qū)間D內任意的x₁,x₂,且x₁＜x₂（或△x=x₁-x₂＜0）,
①若f（x₁）＜（x₂）（或△y=f（x₁）-f（x₂）＜0）恒成立f（x）在D上單調增；
②若f（x₁）﹥（x₂）（或△y=f（x₁）-f（x₂）﹥0）恒成立f（x）在D上單調減。
（2）最值：設函數y=f（x）的定義域為I，
①如果存在實數M滿足；對任意的ｘ∈I，都有ｆ（x）≤Ｍ且存在ｘ∈R，使得ｆ（x）＝Ｍ，那么稱M是函數y=f（x）的最大值；
②如果存在實數M滿足；對任意x∈I，都有f（x）≥M且存在x∈R，使得f（x）=M,那么稱M是函數y=f（x）的最小值。
2.函數的奇偶性
（1）定義：對于定義域內的任意x，有
①f（-x）=-f（x）<=>f（x）為奇函數；
②f（-x）=f（x）<=>f（x）為偶函數；
（2）性質
①函數y=f（x）是偶函數<=>y=f（x）的圖象關于y軸對稱。
函數y=f（x）是奇函數<=>y=f（x）的圖象關于原點對稱。
②奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相同，且在x=0處有定義時必有f（0）=0，即f（x）的圖象過原點。
③偶函數在其定義域內適于原點對稱的兩個區(qū)間的單調性相反。
例題講解
一、函數的概念
1.下列說法中，不正確的是（B）
A.函數值域中每一個數都有定義域中的至少一個數與之對應。
B.函數的定義域和值域一定是無限集合。
C.定義域和對應關系確定后，函數的值域也就確定了。
D.若函數的定義域只有一個元素，則值域也只有一個元素。 
二、函數圖象的應用
例、設函數f（x）=x²-2∣x∣-1（-3≤x≤3）,
（1）證明f（x）是偶函數；（2）畫出這個函數的圖象；
（3）指出函數f（x）的單調區(qū)間，并說明在各個單調區(qū)間上f（x）是增函數還是減函數；
（4）求函數的值域。
1.設函數f（x）=x²-2∣x∣-1（-3≤x≤3）,
（1）證明f（x）是偶數；
（1）證明：定義域關于原點對稱。
∵f（-x）=（-x）2-∣-x∣-1
         =x2-2∣x∣-1=f（x）
     即f（-x）=f（x）
     ∴f（x）是偶函數。
f（x）=x2-2∣x∣-1（-3≤x≤3）
（2）畫出這個函數的圖象
（2）當x≥0時，
f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2,
當x＜0時，f（x）=x²+2x-1=(x+1)²-2,
即f（x）=（x-1）²-2   （0≤x≤3）
         （x+1）²-2   （-3≤x≤0）
根據二次函數的作圖方法，可得函數圖象如圖。
三、函數奇偶性和單調性的應用
1判斷函數f（x）=√1-x²/∣x+2∣-2的奇偶性。
解：1-x2≥0       -1≦x≦1          -1≦x≦1且x≠0
    ∣x+2∣≠2    x≠0且x≠-4
∴定義域為[-1.0） υ （0.1]
∴f（x）=（√1-x2）/（x+2）-2=（√1-x²）/x
∵f（-x）=（√1-（-x）²）/-x=-（（√1-x²）/x）
即f（-x）=-f（x）  ∴f（x）為奇函數。