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九年級數(shù)學(xué)上冊第4章《一元二次方程》4.5 一元二次方程根的判別式
第四章《一元二次方程》
4.5 一元二次方程根的判別式
實(shí)驗(yàn)與探究
（1）你會解方程x2+2x+5=0嗎？試一試.
x2+2x+5=0
解：
x2+2x+1=-5+1
（x+1）2=-4
a=1 b2 c=5
b2-4ac=22-4×1×5=-16＜0
（2）由4.3節(jié)我們知道，當(dāng)b2-4ac≥0時，一元二次方程
ax2+bx+c=0 ①
可以利用求根公式
求出它的根.
你發(fā)現(xiàn)當(dāng)b2-4ac＞0與b2-4ac=0時，方程的兩個根分別具有什么特征？
當(dāng)b2-4ac＞0時，由于
是正數(shù)，-
是負(fù)數(shù)，所以
是兩個不相等的實(shí)數(shù).因此，方程①有兩個不相等的實(shí)根：
是正數(shù)，-是負(fù)數(shù)，所以是兩個不相等的實(shí)數(shù).因此，方程①有兩個不相等的實(shí)根：
如果b2-4ac=0，那么
，這時方程①有兩個相等的實(shí)根：
，這時方程①有兩個相等的實(shí)根：x1=x2=-b/2a
如果b2-4ac＜0，將方程①配方后，得
（x+b/2a）2=b2-4ac/4a2
方程右邊由于分母4a2＞0，所以b2-4ac/4a2＜0，而（x+b/2a）2不可能是負(fù)數(shù)，這時方程①沒有實(shí)根.
由此可見，一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實(shí)根，有實(shí)根時兩個實(shí)根是否相等，均取決于一個含有該方程各項(xiàng)系
數(shù)的代數(shù)式b2-4ac的值的符號，因而把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式（discriminant），通
常用△表示，即△=b2-4ac.
把上面討論所得到的結(jié)論加以歸納，就得到
一元二次方程
ax2+bx+c=0
當(dāng)△＞0時有兩個不相等的實(shí)根；當(dāng)△=0時有兩個相等的實(shí)根；當(dāng)△＜0時沒有實(shí)根.
上面結(jié)論的逆命題也是正確的，你能說出它的逆命題嗎？
例1 不解方程，判斷下列方程根的情況：
（1）2x2+x-4=0；
（2）4y2+9=12y；
（3）5（t2+1）-6t=0.
解
（1）這里a=2，b=1，c=-4.
∵△=b2-4ac=12-4×2×（-4）=33＞0
∴方程有兩個不相等的實(shí)根.
（2）把原方程化為一般形式，得
4y2-12y+9=0
這里 a=4，b=-12，c=9
∵△=b2-4ac=（-12）2-4×4×9=0.
∴原方程有兩個相等的實(shí)根.
（3）把原方程化為一般形式，得
5t2-6t+5=0
這里 a=5，b=-6，c=5
∵△=b2-4ac=（-6）2-4×5×5=-64＜0
∴原方程沒有實(shí)根.
例2 已知關(guān)于x的一元二次方程 kx2-3x+1=0
有兩個不相等的實(shí)根。
（1）求k的取值范圍；
（2）選擇一個k的正整數(shù)值，并求出方程的根.
解
（1）∵關(guān)于x的一元二次方程 kx2-3x+1=0
有兩個不相等的實(shí)根.
∴△=（-3）2-4k＞0
即 9-4k＞0
解不等式，得k＜9/4.
∵kx2-3x+1=0是一元二次方程，
∴k≠0
故k的取值范圍是k＜9/4且k≠0.
（2）取不等式k＜9/4的一個正整數(shù)解k=2，則方程為
2x2-3x+1=0
解這個方程，得
x1=1，x2=1/2
挑戰(zhàn)自我
有一邊長為3的等腰三角形，它的另兩邊長分別是關(guān)于x的方程
x2-12x+k=0
的兩根，求k的值.
（1）當(dāng)3為腰時，k=27.
（2）當(dāng)3為底時，△=0，k=36.
練習(xí)
1.不解方程，判斷下列方程根的情況：
（1）3y2-5y-2=0； （2）2x2-9x+6=0；
（3）5x2+10x+6=0；（4）5t2-
+3=0.
+3=0.2.k為何值時，關(guān)于x的一元二次方程
3x2-4x+（k+1）=0
有兩個相等的實(shí)根？
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崔老師
男，中教高級職稱
市優(yōu)秀教師、骨干教師，數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。在教學(xué)中注重學(xué)生自學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，教學(xué)成績突出。
